פתור את {l}{3x+5y=-8}{4x+13y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 8 } \\ { 4 x + 13 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-6$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+5y=-8$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-5y-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5y-8.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y-8}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+13y=2.

$$4\left(-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}\right)+13y=2$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-5y-8}{3}.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{32}{3}+13y=2$$

הוסף את ‎-\frac{20y}{3} ל- ‎13y.

$$\frac{19}{3}y-\frac{32}{3}=2$$

הוסף ‎\frac{32}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{3}y=\frac{38}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{3} ב- ‎2.

$$x=\frac{-10-8}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{8}{3} ל- ‎-\frac{10}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-6,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{3\times 13-5\times 4}&-\frac{5}{3\times 13-5\times 4}\\-\frac{4}{3\times 13-5\times 4}&\frac{3}{3\times 13-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&-\frac{5}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\left(-8\right)-\frac{5}{19}\times 2\\-\frac{4}{19}\left(-8\right)+\frac{3}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-6,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4\times 5y=4\left(-8\right),3\times 4x+3\times 13y=3\times 2$$

פשט.

$$12x+20y=-32,12x+39y=6$$

החסר את ‎12x+39y=6 מ- ‎12x+20y=-32 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+20y-39y=-32-6$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-39y=-32-6$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-39y.

$$-19y=-32-6$$

הוסף את ‎-32 ל- ‎-6.

$$-19y=-38$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎4x+13y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+13\times 2=2$$

הכפל את ‎13 ב- ‎2.

$$4x+26=2$$

החסר ‎26 משני אגפי המשוואה.

$$4x=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-6,y=2$$