פתור את {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎22x משני הצדדים.

$$-5x+2y+22x=0$$

כנס את ‎-5x ו- ‎22x כדי לקבל ‎17x.

$$17x+2y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+5y=-24$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-5y-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5y-24.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{3}-8 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎17x+2y=0.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

הכפל את ‎17 ב- ‎-\frac{5y}{3}-8.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

הוסף את ‎-\frac{85y}{3} ל- ‎2y.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

הוסף ‎136 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{79}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{408}{79}$$

השתמש ב- ‎-\frac{408}{79} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{3}y-8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

הכפל את ‎-\frac{5}{3} ב- ‎-\frac{408}{79} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎\frac{680}{79}.

$$x=\frac{48}{79}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎22x משני הצדדים.

$$-5x+2y+22x=0$$

כנס את ‎-5x ו- ‎22x כדי לקבל ‎17x.

$$17x+2y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎22x משני הצדדים.

$$-5x+2y+22x=0$$

כנס את ‎-5x ו- ‎22x כדי לקבל ‎17x.

$$17x+2y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎17x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎17 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

פשט.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

החסר את ‎51x+6y=0 מ- ‎51x+85y=-408 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

הוסף את ‎51x ל- ‎-51x. האיברים ‎51x ו- ‎-51x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$85y-6y=-408$$

הוסף את ‎85y ל- ‎-6y.

$$79y=-408$$

חלק את שני האגפים ב- ‎79.

$$y=-\frac{408}{79}$$

השתמש ב- ‎-\frac{408}{79} במקום y ב- ‎17x+2y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{408}{79}.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

הוסף ‎\frac{816}{79} לשני אגפי המשוואה.

$$17x=\frac{816}{79}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎17.

$$x=\frac{48}{79}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$