פתור את {l}{3x+4y=7}{kx-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 7 } \\ { k x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{9}{2k+3}$$

$$y=-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}$$

$$k\neq -\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+4y=7,kx-2y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+4y=7$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-4y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-4y+7.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4y+7}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎kx-2y=1.

$$k\left(-\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}\right)-2y=1$$

הכפל את ‎k ב- ‎\frac{-4y+7}{3}.

$$\left(-\frac{4k}{3}\right)y+\frac{7k}{3}-2y=1$$

הוסף את ‎-\frac{4ky}{3} ל- ‎-2y.

$$\left(-\frac{4k}{3}-2\right)y+\frac{7k}{3}=1$$

החסר ‎\frac{7k}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\left(-\frac{4k}{3}-2\right)y=-\frac{7k}{3}+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-\frac{4k}{3}-2.

$$y=-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)} במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}\right)+\frac{7}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}.

$$x=\frac{2\left(3-7k\right)}{3\left(2k+3\right)}+\frac{7}{3}$$

הוסף את ‎\frac{7}{3} ל- ‎\frac{2\left(3-7k\right)}{3\left(2k+3\right)}.

$$x=\frac{9}{2k+3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{2k+3},y=-\frac{3-7k}{2\left(2k+3\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+4y=7,kx-2y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\k&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4k}&-\frac{4}{3\left(-2\right)-4k}\\-\frac{k}{3\left(-2\right)-4k}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4k}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2k+3}&\frac{2}{2k+3}\\\frac{k}{2\left(2k+3\right)}&-\frac{3}{2\left(2k+3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2k+3}\times 7+\frac{2}{2k+3}\\\frac{k}{2\left(2k+3\right)}\times 7-\frac{3}{2\left(2k+3\right)}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2k+3}\\\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{9}{2k+3},y=\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+4y=7,kx-2y=1$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎kx לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎k ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$k\times 3x+k\times 4y=k\times 7,3kx+3\left(-2\right)y=3$$

פשט.

$$3kx+4ky=7k,3kx-6y=3$$

החסר את ‎3kx-6y=3 מ- ‎3kx+4ky=7k על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3kx+\left(-3k\right)x+4ky+6y=7k-3$$

הוסף את ‎3kx ל- ‎-3kx. האיברים ‎3kx ו- ‎-3kx מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4ky+6y=7k-3$$

הוסף את ‎4ky ל- ‎6y.

$$\left(4k+6\right)y=7k-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4k+6.

$$y=\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}$$

השתמש ב- ‎\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)} במקום y ב- ‎kx-2y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$kx-2\times \frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}=1$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}.

$$kx-\frac{7k-3}{2k+3}=1$$

הוסף ‎\frac{7k-3}{2k+3} לשני אגפי המשוואה.

$$kx=\frac{9k}{2k+3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎k.

$$x=\frac{9}{2k+3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{2k+3},y=\frac{7k-3}{2\left(2k+3\right)}$$