פתור את {l}{3x+4y=3}{8x+7y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 3 } \\ { 8 x + 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182$$

$$y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+4y=3$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-4y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-4y+3.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

השתמש ב- ‎-\frac{4y}{3}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x+7y=14.

$$8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14$$

הכפל את ‎8 ב- ‎-\frac{4y}{3}+1.

$$-\frac{32}{3}y+8+7y=14$$

הוסף את ‎-\frac{32y}{3} ל- ‎7y.

$$-\frac{11}{3}y+8=14$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{3}y=6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{18}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{18}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎-\frac{18}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{24}{11}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎\frac{24}{11}.

$$x=\frac{35}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+4y=3,8x+7y=14$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14$$

פשט.

$$24x+32y=24,24x+21y=42$$

החסר את ‎24x+21y=42 מ- ‎24x+32y=24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$24x-24x+32y-21y=24-42$$

הוסף את ‎24x ל- ‎-24x. האיברים ‎24x ו- ‎-24x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$32y-21y=24-42$$

הוסף את ‎32y ל- ‎-21y.

$$11y=24-42$$

הוסף את ‎24 ל- ‎-42.

$$11y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=-\frac{18}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{18}{11} במקום y ב- ‎8x+7y=14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{18}{11}.

$$8x-\frac{126}{11}=14$$

הוסף ‎\frac{126}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$8x=\frac{280}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{35}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}$$