פתור את {l}{3x+4y=28}{9x-6y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 28 } \\ { 9 x - 6 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{100}{27} = 3\frac{19}{27} \approx 3.703703704$$

$$y = \frac{38}{9} = 4\frac{2}{9} \approx 4.222222222$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+4y=28$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-4y+28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+28\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-4y+28.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4y+28}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x-6y=8.

$$9\left(-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}\right)-6y=8$$

הכפל את ‎9 ב- ‎\frac{-4y+28}{3}.

$$-12y+84-6y=8$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-6y.

$$-18y+84=8$$

החסר ‎84 משני אגפי המשוואה.

$$-18y=-76$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-18.

$$y=\frac{38}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{38}{9} במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{38}{9}+\frac{28}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎\frac{38}{9} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{152}{27}+\frac{28}{3}$$

הוסף את ‎\frac{28}{3} ל- ‎-\frac{152}{27} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{100}{27}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\9&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 9}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{3\left(-6\right)-4\times 9}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{27}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 28+\frac{2}{27}\times 8\\\frac{1}{6}\times 28-\frac{1}{18}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{27}\\\frac{38}{9}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+4y=28,9x-6y=8$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$9\times 3x+9\times 4y=9\times 28,3\times 9x+3\left(-6\right)y=3\times 8$$

פשט.

$$27x+36y=252,27x-18y=24$$

החסר את ‎27x-18y=24 מ- ‎27x+36y=252 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$27x-27x+36y+18y=252-24$$

הוסף את ‎27x ל- ‎-27x. האיברים ‎27x ו- ‎-27x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$36y+18y=252-24$$

הוסף את ‎36y ל- ‎18y.

$$54y=252-24$$

הוסף את ‎252 ל- ‎-24.

$$54y=228$$

חלק את שני האגפים ב- ‎54.

$$y=\frac{38}{9}$$

השתמש ב- ‎\frac{38}{9} במקום y ב- ‎9x-6y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$9x-6\times \frac{38}{9}=8$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{38}{9}.

$$9x-\frac{76}{3}=8$$

הוסף ‎\frac{76}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$9x=\frac{100}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{100}{27}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{100}{27},y=\frac{38}{9}$$