פתור את {l}{3x+4y=1}{4x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 4 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{7}{13}\approx 0.538461538$$

$$y=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+4y=1$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-4y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-4y+1.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4y+1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+y=2.

$$4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+y=2$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-4y+1}{3}.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{4}{3}+y=2$$

הוסף את ‎-\frac{16y}{3} ל- ‎y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{4}{3}=2$$

החסר ‎\frac{4}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{13}{3}y=\frac{2}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{13}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{2}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{13} במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{2}{13}\right)+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎-\frac{2}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{8}{39}+\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎\frac{8}{39} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{7}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 4}&-\frac{4}{3-4\times 4}\\-\frac{4}{3-4\times 4}&\frac{3}{3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}+\frac{4}{13}\times 2\\\frac{4}{13}-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\\-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4,3\times 4x+3y=3\times 2$$

פשט.

$$12x+16y=4,12x+3y=6$$

החסר את ‎12x+3y=6 מ- ‎12x+16y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+16y-3y=4-6$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$16y-3y=4-6$$

הוסף את ‎16y ל- ‎-3y.

$$13y=4-6$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-6.

$$13y=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$y=-\frac{2}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{13} במקום y ב- ‎4x+y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-\frac{2}{13}=2$$

הוסף ‎\frac{2}{13} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{28}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{7}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$