פתור את {l}{3x+2y=87}{5x+6y=187}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 87 } \\ { 5 x + 6 y = 187 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{37}{2} = 18\frac{1}{2} = 18.5$$

$$y = \frac{63}{4} = 15\frac{3}{4} = 15.75$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=87$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+87$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+87\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+87.

$$x=-\frac{2}{3}y+29$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{3}+29 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+6y=187.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+29\right)+6y=187$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{2y}{3}+29.

$$-\frac{10}{3}y+145+6y=187$$

הוסף את ‎-\frac{10y}{3} ל- ‎6y.

$$\frac{8}{3}y+145=187$$

החסר ‎145 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{8}{3}y=42$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{8}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{63}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{63}{4} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+29. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{63}{4}+29$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{63}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{21}{2}+29$$

הוסף את ‎29 ל- ‎-\frac{21}{2}.

$$x=\frac{37}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 5}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 5}\\-\frac{5}{3\times 6-2\times 5}&\frac{3}{3\times 6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}87\\187\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 87-\frac{1}{4}\times 187\\-\frac{5}{8}\times 87+\frac{3}{8}\times 187\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{2}\\\frac{63}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=87,5x+6y=187$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 87,3\times 5x+3\times 6y=3\times 187$$

פשט.

$$15x+10y=435,15x+18y=561$$

החסר את ‎15x+18y=561 מ- ‎15x+10y=435 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+10y-18y=435-561$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y-18y=435-561$$

הוסף את ‎10y ל- ‎-18y.

$$-8y=435-561$$

הוסף את ‎435 ל- ‎-561.

$$-8y=-126$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=\frac{63}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{63}{4} במקום y ב- ‎5x+6y=187. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+6\times \frac{63}{4}=187$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{63}{4}.

$$5x+\frac{189}{2}=187$$

החסר ‎\frac{189}{2} משני אגפי המשוואה.

$$5x=\frac{185}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{37}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{37}{2},y=\frac{63}{4}$$