פתור את {l}{3x+2y=8}{2x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=8$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+8}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=9.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+3y=9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{3} ל- ‎3y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}=9$$

החסר ‎\frac{16}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{3}y=\frac{11}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{11}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{5}+\frac{8}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{11}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{22}{15}+\frac{8}{3}$$

הוסף את ‎\frac{8}{3} ל- ‎-\frac{22}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{6}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}&\frac{3}{3\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8-\frac{2}{5}\times 9\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{3}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 8,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

פשט.

$$6x+4y=16,6x+9y=27$$

החסר את ‎6x+9y=27 מ- ‎6x+4y=16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+4y-9y=16-27$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-9y=16-27$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-9y.

$$-5y=16-27$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-27.

$$-5y=-11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=\frac{11}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{5} במקום y ב- ‎2x+3y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\times \frac{11}{5}=9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{11}{5}.

$$2x+\frac{33}{5}=9$$

החסר ‎\frac{33}{5} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{12}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{6}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$