פתור את {l}{3x+2y=7}{6x-4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 6 x - 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=7$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+7}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-4y=2.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-4y=2$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{-2y+7}{3}.

$$-4y+14-4y=2$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-4y.

$$-8y+14=2$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$-8y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{7}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1+\frac{7}{3}$$

הוסף את ‎\frac{7}{3} ל- ‎-1.

$$x=\frac{4}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 6}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-4\right)-2\times 6}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 7+\frac{1}{12}\times 2\\\frac{1}{4}\times 7-\frac{1}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 7,3\times 6x+3\left(-4\right)y=3\times 2$$

פשט.

$$18x+12y=42,18x-12y=6$$

החסר את ‎18x-12y=6 מ- ‎18x+12y=42 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x+12y+12y=42-6$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y+12y=42-6$$

הוסף את ‎12y ל- ‎12y.

$$24y=42-6$$

הוסף את ‎42 ל- ‎-6.

$$24y=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$y=\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום y ב- ‎6x-4y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-4\times \frac{3}{2}=2$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{3}{2}.

$$6x-6=2$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{4}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$