פתור את {l}{3x+2y=7}{4x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=7$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+7}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+6y=13.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+6y=13$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}+6y=13$$

הוסף את ‎-\frac{8y}{3} ל- ‎6y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=13$$

החסר ‎\frac{28}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{10}{3}y=\frac{11}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{10}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{11}{10}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{10} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{10}+\frac{7}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{11}{10} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{3}$$

הוסף את ‎\frac{7}{3} ל- ‎-\frac{11}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{8}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-2\times 4}&\frac{3}{3\times 6-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 13\\-\frac{2}{5}\times 7+\frac{3}{10}\times 13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{11}{10}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 7,3\times 4x+3\times 6y=3\times 13$$

פשט.

$$12x+8y=28,12x+18y=39$$

החסר את ‎12x+18y=39 מ- ‎12x+8y=28 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+8y-18y=28-39$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y-18y=28-39$$

הוסף את ‎8y ל- ‎-18y.

$$-10y=28-39$$

הוסף את ‎28 ל- ‎-39.

$$-10y=-11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=\frac{11}{10}$$

השתמש ב- ‎\frac{11}{10} במקום y ב- ‎4x+6y=13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+6\times \frac{11}{10}=13$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{11}{10}.

$$4x+\frac{33}{5}=13$$

החסר ‎\frac{33}{5} משני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{32}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{8}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$