פתור עבור x, y
x = \frac{561}{7} = 80\frac{1}{7} \approx 80.142857143
y = -\frac{817}{7} = -116\frac{5}{7} \approx -116.714285714
גרף
שתף
הועתק ללוח
3x+2y=7,2x-y=277
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
3x+2y=7
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
3x=-2y+7
החסר 2y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)
חלק את שני האגפים ב- 3.
x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}
הכפל את \frac{1}{3} ב- -2y+7.
2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-y=277
השתמש ב- \frac{-2y+7}{3} במקום x במשוואה השניה, 2x-y=277.
-\frac{4}{3}y+\frac{14}{3}-y=277
הכפל את 2 ב- \frac{-2y+7}{3}.
-\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}=277
הוסף את -\frac{4y}{3} ל- -y.
-\frac{7}{3}y=\frac{817}{3}
החסר \frac{14}{3} משני אגפי המשוואה.
y=-\frac{817}{7}
חלק את שני אגפי המשוואה ב- -\frac{7}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{817}{7}\right)+\frac{7}{3}
השתמש ב- -\frac{817}{7} במקום y ב- x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=\frac{1634}{21}+\frac{7}{3}
הכפל את -\frac{2}{3} ב- -\frac{817}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=\frac{561}{7}
הוסף את \frac{7}{3} ל- \frac{1634}{21} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.
x=\frac{561}{7},y=-\frac{817}{7}
המערכת נפתרה כעת.
3x+2y=7,2x-y=277
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)
עבור מטריצת 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\277\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 7+\frac{2}{7}\times 277\\\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{7}\times 277\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{561}{7}\\-\frac{817}{7}\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=\frac{561}{7},y=-\frac{817}{7}
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
3x+2y=7,2x-y=277
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
2\times 3x+2\times 2y=2\times 7,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 277
כדי להפוך את 3x ו- 2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- 2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- 3.
6x+4y=14,6x-3y=831
פשט.
6x-6x+4y+3y=14-831
החסר את 6x-3y=831 מ- 6x+4y=14 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
4y+3y=14-831
הוסף את 6x ל- -6x. האיברים 6x ו- -6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
7y=14-831
הוסף את 4y ל- 3y.
7y=-817
הוסף את 14 ל- -831.
y=-\frac{817}{7}
חלק את שני האגפים ב- 7.
2x-\left(-\frac{817}{7}\right)=277
השתמש ב- -\frac{817}{7} במקום y ב- 2x-y=277. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
2x=\frac{1122}{7}
החסר \frac{817}{7} משני אגפי המשוואה.
x=\frac{561}{7}
חלק את שני האגפים ב- 2.
x=\frac{561}{7},y=-\frac{817}{7}
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}