פתור את {l}{3x+2y=17}{2x+y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-21$$

$$y=40$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=17,2x+y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=17$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+17\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+17.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+17}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=-2.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}\right)+y=-2$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-2y+17}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{34}{3}+y=-2$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{3} ל- ‎y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{34}{3}=-2$$

החסר ‎\frac{34}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{40}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=40$$

השתמש ב- ‎40 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times 40+\frac{17}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎40.

$$x=\frac{-80+17}{3}$$

הוסף את ‎\frac{17}{3} ל- ‎-\frac{80}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-21$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-21,y=40$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=17,2x+y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17+2\left(-2\right)\\2\times 17-3\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\40\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-21,y=40$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=17,2x+y=-2$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 17,3\times 2x+3y=3\left(-2\right)$$

פשט.

$$6x+4y=34,6x+3y=-6$$

החסר את ‎6x+3y=-6 מ- ‎6x+4y=34 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+4y-3y=34+6$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-3y=34+6$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-3y.

$$y=34+6$$

הוסף את ‎34 ל- ‎6.

$$y=40$$

השתמש ב- ‎40 במקום y ב- ‎2x+y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+40=-2$$

החסר ‎40 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-21$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-21,y=40$$