פתור את {l}{3x+2y=12}{4x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 12 } \\ { 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11} \approx 3.090909091$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=12$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{3}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-y=11.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-y=11$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{2y}{3}+4.

$$-\frac{8}{3}y+16-y=11$$

הוסף את ‎-\frac{8y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{11}{3}y+16=11$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{3}y=-5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{15}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{15}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}+4$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{15}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{10}{11}+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-\frac{10}{11}.

$$x=\frac{34}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 12+\frac{2}{11}\times 11\\\frac{4}{11}\times 12-\frac{3}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 12,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

פשט.

$$12x+8y=48,12x-3y=33$$

החסר את ‎12x-3y=33 מ- ‎12x+8y=48 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+8y+3y=48-33$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$8y+3y=48-33$$

הוסף את ‎8y ל- ‎3y.

$$11y=48-33$$

הוסף את ‎48 ל- ‎-33.

$$11y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=\frac{15}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{15}{11} במקום y ב- ‎4x-y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-\frac{15}{11}=11$$

הוסף ‎\frac{15}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{136}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{34}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$