פתור את {l}{3x+2y=-8}{-x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { - x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=-8$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y-8.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y-8}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x-2y=12.

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)-2y=12$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{-2y-8}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-2y=12$$

הוסף את ‎\frac{2y}{3} ל- ‎-2y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}=12$$

החסר ‎\frac{8}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{4}{3}y=\frac{28}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{4}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-7\right)-\frac{8}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎-7.

$$x=\frac{14-8}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{8}{3} ל- ‎\frac{14}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{4}\left(-8\right)-\frac{3}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-3x-2y=-\left(-8\right),3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

פשט.

$$-3x-2y=8,-3x-6y=36$$

החסר את ‎-3x-6y=36 מ- ‎-3x-2y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3x+3x-2y+6y=8-36$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎3x. האיברים ‎-3x ו- ‎3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y+6y=8-36$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎6y.

$$4y=8-36$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-36.

$$4y=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום y ב- ‎-x-2y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x-2\left(-7\right)=12$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-7.

$$-x+14=12$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-7$$