פתור את {l}{3x+2y=-10}{2x-10y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 10 } \\ { 2 x - 10 y = - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=-10$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y-10.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y-10}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-10y=-1.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-10y=-1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-2y-10}{3}.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}-10y=-1$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{3} ל- ‎-10y.

$$-\frac{34}{3}y-\frac{20}{3}=-1$$

הוסף ‎\frac{20}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{34}{3}y=\frac{17}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{34}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{10}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎-\frac{1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1-10}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{10}{3} ל- ‎\frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-10\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-10\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{1}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-10\right)+\frac{1}{17}\left(-1\right)\\\frac{1}{17}\left(-10\right)-\frac{3}{34}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=-10,2x-10y=-1$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\left(-10\right),3\times 2x+3\left(-10\right)y=3\left(-1\right)$$

פשט.

$$6x+4y=-20,6x-30y=-3$$

החסר את ‎6x-30y=-3 מ- ‎6x+4y=-20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+4y+30y=-20+3$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y+30y=-20+3$$

הוסף את ‎4y ל- ‎30y.

$$34y=-20+3$$

הוסף את ‎-20 ל- ‎3.

$$34y=-17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎34.

$$y=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום y ב- ‎2x-10y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-10\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$

הכפל את ‎-10 ב- ‎-\frac{1}{2}.

$$2x+5=-1$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-\frac{1}{2}$$