פתור את {l}{3x+2y=-1}{6x+6y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 1 } \\ { 6 x + 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=-1$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y-1.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y-1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+6y=-5.

$$6\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+6y=-5$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{-2y-1}{3}.

$$-4y-2+6y=-5$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎6y.

$$2y-2=-5$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$2y=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{2} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎-\frac{3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1-\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3} ל- ‎1.

$$x=\frac{2}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 6-2\times 6}&\frac{3}{3\times 6-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1-\frac{1}{3}\left(-5\right)\\-\left(-1\right)+\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=-1,6x+6y=-5$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\left(-1\right),3\times 6x+3\times 6y=3\left(-5\right)$$

פשט.

$$18x+12y=-6,18x+18y=-15$$

החסר את ‎18x+18y=-15 מ- ‎18x+12y=-6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x+12y-18y=-6+15$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y-18y=-6+15$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-18y.

$$-6y=-6+15$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎15.

$$-6y=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=-\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{2} במקום y ב- ‎6x+6y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+6\left(-\frac{3}{2}\right)=-5$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{3}{2}.

$$6x-9=-5$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{2}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{2}$$