פתור את {l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+10y=11$$

החסר ‎10y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-10y+11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-10y+11.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-10y+11}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-10x-8y=14.

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

הכפל את ‎-10 ב- ‎\frac{-10y+11}{3}.

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

הוסף את ‎\frac{100y}{3} ל- ‎-8y.

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

הוסף ‎\frac{110}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{76}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{10}{3} ב- ‎2.

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

הוסף את ‎\frac{11}{3} ל- ‎-\frac{20}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-10x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-10 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

פשט.

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

החסר את ‎-30x-24y=42 מ- ‎-30x-100y=-110 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

הוסף את ‎-30x ל- ‎30x. האיברים ‎-30x ו- ‎30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-100y+24y=-110-42$$

הוסף את ‎-100y ל- ‎24y.

$$-76y=-110-42$$

הוסף את ‎-110 ל- ‎-42.

$$-76y=-152$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-76.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎-10x-8y=14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-10x-8\times 2=14$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎2.

$$-10x-16=14$$

הוסף ‎16 לשני אגפי המשוואה.

$$-10x=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=2$$