פתור את {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור w, z

$$z=5$$

$$w=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור w על-ידי בידוד w בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3w-2z=5$$

הוסף ‎2z לשני אגפי המשוואה.

$$3w=2z+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎2z+5.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2z+5}{3} במקום ‎w במשוואה השניה, ‎w+2z=15.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

הוסף את ‎\frac{2z}{3} ל- ‎2z.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

החסר ‎\frac{5}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{8}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$z=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום z ב- ‎w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את w ישירות.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎5.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎\frac{10}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$w=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$w=5,z=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה w ו- z.

$$w=5,z=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

כדי להפוך את ‎3w ו- ‎w לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

פשט.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

החסר את ‎3w+6z=45 מ- ‎3w-2z=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

הוסף את ‎3w ל- ‎-3w. האיברים ‎3w ו- ‎-3w מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2z-6z=5-45$$

הוסף את ‎-2z ל- ‎-6z.

$$-8z=5-45$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-45.

$$-8z=-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$z=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום z ב- ‎w+2z=15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את w ישירות.

$$w+2\times 5=15$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$w+10=15$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$w=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$w=5,z=5$$