פתור את {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור u, x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור u על-ידי בידוד u בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3u+5x=8$$

החסר ‎5x משני אגפי המשוואה.

$$3u=-5x+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5x+8.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5x+8}{3} במקום ‎u במשוואה השניה, ‎5u+5x=14.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-5x+8}{3}.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

הוסף את ‎-\frac{25x}{3} ל- ‎5x.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

החסר ‎\frac{40}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{10}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{5} במקום x ב- ‎u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את u ישירות.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{3} ב- ‎-\frac{1}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

הוסף את ‎\frac{8}{3} ל- ‎\frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$u=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה u ו- x.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

החסר את ‎5u+5x=14 מ- ‎3u+5x=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3u-5u=8-14$$

הוסף את ‎3u ל- ‎-5u.

$$-2u=8-14$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-14.

$$-2u=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$u=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום u ב- ‎5u+5x=14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5\times 3+5x=14$$

הכפל את ‎5 ב- ‎3.

$$15+5x=14$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$5x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-\frac{1}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$