פתור את {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור c, z

$$z=-3$$

$$c=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור c על-ידי בידוד c בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3c+5z=-15$$

החסר ‎5z משני אגפי המשוואה.

$$3c=-5z-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5z-15.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

השתמש ב- ‎-\frac{5z}{3}-5 במקום ‎c במשוואה השניה, ‎5c+3z=-9.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{5z}{3}-5.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

הוסף את ‎-\frac{25z}{3} ל- ‎3z.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

הוסף ‎25 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{16}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$z=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום z ב- ‎c=-\frac{5}{3}z-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

הכפל את ‎-\frac{5}{3} ב- ‎-3.

$$c=5-5$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎5.

$$c=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$c=0,z=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה c ו- z.

$$c=0,z=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

כדי להפוך את ‎3c ו- ‎5c לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

פשט.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

החסר את ‎15c+9z=-27 מ- ‎15c+25z=-75 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

הוסף את ‎15c ל- ‎-15c. האיברים ‎15c ו- ‎-15c מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$25z-9z=-75+27$$

הוסף את ‎25z ל- ‎-9z.

$$16z=-75+27$$

הוסף את ‎-75 ל- ‎27.

$$16z=-48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$z=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום z ב- ‎5c+3z=-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-3.

$$5c-9=-9$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$5c=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$c=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$c=0,z=-3$$