פתור את {l}{3c+2x=5}{2c+4x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור c, x

$$x=1$$

$$c=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור c על-ידי בידוד c בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3c+2x=5$$

החסר ‎2x משני אגפי המשוואה.

$$3c=-2x+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2x+5.

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2x+5}{3} במקום ‎c במשוואה השניה, ‎2c+4x=6.

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-2x+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

הוסף את ‎-\frac{4x}{3} ל- ‎4x.

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

החסר ‎\frac{10}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{8}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎-\frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$c=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$c=1,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה c ו- x.

$$c=1,x=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

כדי להפוך את ‎3c ו- ‎2c לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

פשט.

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

החסר את ‎6c+12x=18 מ- ‎6c+4x=10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

הוסף את ‎6c ל- ‎-6c. האיברים ‎6c ו- ‎-6c מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4x-12x=10-18$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-12x.

$$-8x=10-18$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-18.

$$-8x=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום x ב- ‎2c+4x=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$2c+4=6$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$2c=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$c=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$c=1,x=1$$