פתור את {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3a+b=-3$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$3a=-b-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-b-3.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

השתמש ב- ‎-\frac{b}{3}-1 במקום ‎a במשוואה השניה, ‎2a-b=-1.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{b}{3}-1.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

הוסף את ‎-\frac{2b}{3} ל- ‎-b.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$b=-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{5} במקום b ב- ‎a=-\frac{1}{3}b-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-\frac{3}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{1}{5}.

$$a=-\frac{4}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

כדי להפוך את ‎3a ו- ‎2a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

פשט.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

החסר את ‎6a-3b=-3 מ- ‎6a+2b=-6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

הוסף את ‎6a ל- ‎-6a. האיברים ‎6a ו- ‎-6a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2b+3b=-6+3$$

הוסף את ‎2b ל- ‎3b.

$$5b=-6+3$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎3.

$$5b=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$b=-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{5} במקום b ב- ‎2a-b=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

החסר ‎\frac{3}{5} משני אגפי המשוואה.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$a=-\frac{4}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$