פתור את {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

פתור עבור A, c

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור A על-ידי בידוד A בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3A-13c=-255$$

הוסף ‎13c לשני אגפי המשוואה.

$$3A=13c-255$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎13c-255.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

השתמש ב- ‎\frac{13c}{3}-85 במקום ‎A במשוואה השניה, ‎31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

הכפל את ‎31 ב- ‎\frac{13c}{3}-85.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

הוסף את ‎\frac{403c}{3} ל- ‎-6c.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

הוסף ‎2635 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{385}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$c=\frac{1473}{77}$$

השתמש ב- ‎\frac{1473}{77} במקום c ב- ‎A=\frac{13}{3}c-85. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

הכפל את ‎\frac{13}{3} ב- ‎\frac{1473}{77} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

הוסף את ‎-85 ל- ‎\frac{6383}{77}.

$$A=-\frac{162}{77}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה A ו- c.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

כדי להפוך את ‎3A ו- ‎31A לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎31 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

פשט.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

החסר את ‎93A-18c=-540 מ- ‎93A-403c=-7905 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

הוסף את ‎93A ל- ‎-93A. האיברים ‎93A ו- ‎-93A מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-403c+18c=-7905+540$$

הוסף את ‎-403c ל- ‎18c.

$$-385c=-7905+540$$

הוסף את ‎-7905 ל- ‎540.

$$-385c=-7365$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-385.

$$c=\frac{1473}{77}$$

השתמש ב- ‎\frac{1473}{77} במקום c ב- ‎31A-6c=-180. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את A ישירות.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{1473}{77}.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

הוסף ‎\frac{8838}{77} לשני אגפי המשוואה.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎31.

$$A=-\frac{162}{77}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$