פתור את {l}{3(x+2)-y=17}{7x+3(y-1)=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) - y = 17 } \\ { 7 x + 3 ( y - 1 ) = 12 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3\left(x+2\right)-y=17,7x+3\left(y-1\right)=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3\left(x+2\right)-y=17$$

הכפל את ‎3 ב- ‎x+2.

$$3x+6-y=17$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$3x-y=11$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y+11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+11\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y+11.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{11+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+3\left(y-1\right)=12.

$$7\left(\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+3\left(y-1\right)=12$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{11+y}{3}.

$$\frac{7}{3}y+\frac{77}{3}+3\left(y-1\right)=12$$

הכפל את ‎3 ב- ‎y-1.

$$\frac{7}{3}y+\frac{77}{3}+3y-3=12$$

הוסף את ‎\frac{7y}{3} ל- ‎3y.

$$\frac{16}{3}y+\frac{77}{3}-3=12$$

הוסף את ‎\frac{77}{3} ל- ‎-3.

$$\frac{16}{3}y+\frac{68}{3}=12$$

החסר ‎\frac{68}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{16}{3}y=-\frac{32}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{16}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{11}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-2+11}{3}$$

הוסף את ‎\frac{11}{3} ל- ‎-\frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3\left(x+2\right)-y=17,7x+3\left(y-1\right)=12$$

פשט את המשוואה הראשונה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.

$$3\left(x+2\right)-y=17$$

הכפל את ‎3 ב- ‎x+2.

$$3x+6-y=17$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$3x-y=11$$

פשט את המשוואה השניה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית.

$$7x+3\left(y-1\right)=12$$

הכפל את ‎3 ב- ‎y-1.

$$7x+3y-3=12$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$7x+3y=15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-7\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-7\right)}\\-\frac{7}{3\times 3-\left(-7\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{7}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 11+\frac{1}{16}\times 15\\-\frac{7}{16}\times 11+\frac{3}{16}\times 15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-2$$