פתור את {l}{3(2x-5)+2y=-41}{x-3y/9-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( 2 x - 5 ) + 2 y = - 41 } \\ { \frac { x - 3 y } { 9 } - y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

הוסף ‎15 משני הצדדים.

$$6x+2y=-41+15$$

חבר את ‎-41 ו- ‎15 כדי לקבל ‎-26.

$$6x+2y=-26$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎9.

$$x-3y-9y=45$$

כנס את ‎-3y ו- ‎-9y כדי לקבל ‎-12y.

$$x-12y=45$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+2y=-26$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-2y-26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-26\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-2y-26.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y-13}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-12y=45.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}-12y=45$$

הוסף את ‎-\frac{y}{3} ל- ‎-12y.

$$-\frac{37}{3}y-\frac{13}{3}=45$$

הוסף ‎\frac{13}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{37}{3}y=\frac{148}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{37}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{13}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-4.

$$x=\frac{4-13}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{13}{3} ל- ‎\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

הוסף ‎15 משני הצדדים.

$$6x+2y=-41+15$$

חבר את ‎-41 ו- ‎15 כדי לקבל ‎-26.

$$6x+2y=-26$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎9.

$$x-3y-9y=45$$

כנס את ‎-3y ו- ‎-9y כדי לקבל ‎-12y.

$$x-12y=45$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{6\left(-12\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-12\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-12\right)-2}&\frac{6}{6\left(-12\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}&\frac{1}{37}\\\frac{1}{74}&-\frac{3}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\45\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{37}\left(-26\right)+\frac{1}{37}\times 45\\\frac{1}{74}\left(-26\right)-\frac{3}{37}\times 45\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- 2x-5.

$$6x-15+2y=-41$$

הוסף ‎15 משני הצדדים.

$$6x+2y=-41+15$$

חבר את ‎-41 ו- ‎15 כדי לקבל ‎-26.

$$6x+2y=-26$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎9.

$$x-3y-9y=45$$

כנס את ‎-3y ו- ‎-9y כדי לקבל ‎-12y.

$$x-12y=45$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+2y=-26,x-12y=45$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$6x+2y=-26,6x+6\left(-12\right)y=6\times 45$$

פשט.

$$6x+2y=-26,6x-72y=270$$

החסר את ‎6x-72y=270 מ- ‎6x+2y=-26 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+2y+72y=-26-270$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+72y=-26-270$$

הוסף את ‎2y ל- ‎72y.

$$74y=-26-270$$

הוסף את ‎-26 ל- ‎-270.

$$74y=-296$$

חלק את שני האגפים ב- ‎74.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x-12y=45. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-12\left(-4\right)=45$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-4.

$$x+48=45$$

החסר ‎48 משני אגפי המשוואה.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=-4$$