פתור את {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$25x+y=9$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$25x=-y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{25} ב- ‎-y+9.

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+9}{25} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

הכפל את ‎1.6 ב- ‎\frac{-y+9}{25}.

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

הוסף את ‎-\frac{8y}{125} ל- ‎\frac{y}{5}.

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

החסר ‎\frac{72}{125} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{17}{125}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1553}{17}$$

השתמש ב- ‎\frac{1553}{17} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{25} ב- ‎\frac{1553}{17} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

הוסף את ‎\frac{9}{25} ל- ‎-\frac{1553}{425} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{56}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

כדי להפוך את ‎25x ו- ‎\frac{8x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1.6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎25.

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

פשט.

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

החסר את ‎40x+5y=325 מ- ‎40x+1.6y=14.4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

הוסף את ‎40x ל- ‎-40x. האיברים ‎40x ו- ‎-40x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$1.6y-5y=14.4-325$$

הוסף את ‎\frac{8y}{5} ל- ‎-5y.

$$-3.4y=14.4-325$$

הוסף את ‎14.4 ל- ‎-325.

$$-3.4y=-310.6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-3.4, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1553}{17}$$

השתמש ב- ‎\frac{1553}{17} במקום y ב- ‎1.6x+0.2y=13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

הכפל את ‎0.2 ב- ‎\frac{1553}{17} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

החסר ‎\frac{1553}{85} משני אגפי המשוואה.

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎1.6, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{56}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$