פתור את {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

פתור עבור c, T

$$c=3000$$

$$T=3500$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור c על-ידי בידוד c בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$25c+22T=152000$$

החסר ‎22T משני אגפי המשוואה.

$$25c=-22T+152000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{25} ב- ‎-22T+152000.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

השתמש ב- ‎-\frac{22T}{25}+6080 במקום ‎c במשוואה השניה, ‎11c+12T=75000.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

הכפל את ‎11 ב- ‎-\frac{22T}{25}+6080.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

הוסף את ‎-\frac{242T}{25} ל- ‎12T.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

החסר ‎66880 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{58}{25}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$T=3500$$

השתמש ב- ‎3500 במקום T ב- ‎c=-\frac{22}{25}T+6080. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

הכפל את ‎-\frac{22}{25} ב- ‎3500.

$$c=-3080+6080$$

הוסף את ‎6080 ל- ‎-3080.

$$c=3000$$

המערכת נפתרה כעת.

$$c=3000,T=3500$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה c ו- T.

$$c=3000,T=3500$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

כדי להפוך את ‎25c ו- ‎11c לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎11 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎25.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

פשט.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

החסר את ‎275c+300T=1875000 מ- ‎275c+242T=1672000 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

הוסף את ‎275c ל- ‎-275c. האיברים ‎275c ו- ‎-275c מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

הוסף את ‎242T ל- ‎-300T.

$$-58T=1672000-1875000$$

הוסף את ‎1672000 ל- ‎-1875000.

$$-58T=-203000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-58.

$$T=3500$$

השתמש ב- ‎3500 במקום T ב- ‎11c+12T=75000. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$11c+12\times 3500=75000$$

הכפל את ‎12 ב- ‎3500.

$$11c+42000=75000$$

החסר ‎42000 משני אגפי המשוואה.

$$11c=33000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$c=3000$$

המערכת נפתרה כעת.

$$c=3000,T=3500$$