פתור את {l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=3.8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2.5x+2.5y=17$$

החסר ‎\frac{5y}{2} משני אגפי המשוואה.

$$2.5x=-2.5y+17$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

הכפל את ‎0.4 ב- ‎-\frac{5y}{2}+17.

$$x=-y+6.8$$

השתמש ב- ‎-y+6.8 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-1.5x-7.5y=-33.

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

הכפל את ‎-1.5 ב- ‎-y+6.8.

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎-\frac{15y}{2}.

$$-6y-10.2=-33$$

הוסף ‎10.2 לשני אגפי המשוואה.

$$-6y=-22.8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=3.8$$

השתמש ב- ‎3.8 במקום y ב- ‎x=-y+6.8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3.8+6.8$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎3.8.

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

הוסף את ‎6.8 ל- ‎-3.8 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=3.8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

כדי להפוך את ‎\frac{5x}{2} ו- ‎-\frac{3x}{2} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1.5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.5.

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

פשט.

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

החסר את ‎-3.75x-18.75y=-82.5 מ- ‎-3.75x-3.75y=-25.5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{15x}{4} ל- ‎\frac{15x}{4}. האיברים ‎-\frac{15x}{4} ו- ‎\frac{15x}{4} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{15y}{4} ל- ‎\frac{75y}{4}.

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

הוסף את ‎-25.5 ל- ‎82.5 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$15y=57$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$y=\frac{19}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{19}{5} במקום y ב- ‎-1.5x-7.5y=-33. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

הכפל את ‎-7.5 ב- ‎\frac{19}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

הוסף ‎\frac{57}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-1.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$