פתור את {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=7$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2y-3x=-27$$

הוסף ‎3x לשני אגפי המשוואה.

$$2y=3x-27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-27+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-27+3x}{2} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎5y+3x=6.

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-27+3x}{2}.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

הוסף את ‎\frac{15x}{2} ל- ‎3x.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

הוסף ‎\frac{135}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{21}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום x ב- ‎y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎7.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{27}{2} ל- ‎\frac{21}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-3,x=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-3,x=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

כדי להפוך את ‎2y ו- ‎5y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

פשט.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

החסר את ‎10y+6x=12 מ- ‎10y-15x=-135 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

הוסף את ‎10y ל- ‎-10y. האיברים ‎10y ו- ‎-10y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15x-6x=-135-12$$

הוסף את ‎-15x ל- ‎-6x.

$$-21x=-135-12$$

הוסף את ‎-135 ל- ‎-12.

$$-21x=-147$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-21.

$$x=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום x ב- ‎5y+3x=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$5y+3\times 7=6$$

הכפל את ‎3 ב- ‎7.

$$5y+21=6$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$5y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-3,x=7$$