פתור את {l}{2y-2x=-40}{3x+2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 2 x = - 40 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=10$$

$$y=-10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2y-2x=-40$$

הוסף ‎2x לשני אגפי המשוואה.

$$2y=2x-40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{1}{2}\left(2x-40\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-40+2x.

$$y=x-20$$

השתמש ב- ‎x-20 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y+3x=10.

$$2\left(x-20\right)+3x=10$$

הכפל את ‎2 ב- ‎x-20.

$$2x-40+3x=10$$

הוסף את ‎2x ל- ‎3x.

$$5x-40=10$$

הוסף ‎40 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום x ב- ‎y=x-20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=10-20$$

הוסף את ‎-20 ל- ‎10.

$$y=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-10,x=10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-10,x=10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

החסר את ‎2y+3x=10 מ- ‎2y-2x=-40 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2y-2y-2x-3x=-40-10$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2x-3x=-40-10$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎-3x.

$$-5x=-40-10$$

הוסף את ‎-40 ל- ‎-10.

$$-5x=-50$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום x ב- ‎2y+3x=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y+3\times 10=10$$

הכפל את ‎3 ב- ‎10.

$$2y+30=10$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$2y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-10,x=10$$