פתור את {l}{2y=8x-10}{3y=4x-15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 8 x - 10 } \\ { 3 y = 4 x - 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=0$$

$$y=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎8x משני האגפים.

$$2y-8x=-10$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$3y-4x=-15$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2y-8x=-10,3y-4x=-15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2y-8x=-10$$

הוסף ‎8x לשני אגפי המשוואה.

$$2y=8x-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{1}{2}\left(8x-10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎8x-10.

$$y=4x-5$$

השתמש ב- ‎4x-5 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎3y-4x=-15.

$$3\left(4x-5\right)-4x=-15$$

הכפל את ‎3 ב- ‎4x-5.

$$12x-15-4x=-15$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-4x.

$$8x-15=-15$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$8x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎y=4x-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-5,x=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎8x משני האגפים.

$$2y-8x=-10$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$3y-4x=-15$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2y-8x=-10,3y-4x=-15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}&-\frac{-8}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-10\right)+\frac{1}{2}\left(-15\right)\\-\frac{3}{16}\left(-10\right)+\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-5,x=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎8x משני האגפים.

$$2y-8x=-10$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$3y-4x=-15$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2y-8x=-10,3y-4x=-15$$

כדי להפוך את ‎2y ו- ‎3y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\left(-10\right),2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\left(-15\right)$$

פשט.

$$6y-24x=-30,6y-8x=-30$$

החסר את ‎6y-8x=-30 מ- ‎6y-24x=-30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6y-6y-24x+8x=-30+30$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-6y. האיברים ‎6y ו- ‎-6y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-24x+8x=-30+30$$

הוסף את ‎-24x ל- ‎8x.

$$-16x=-30+30$$

הוסף את ‎-30 ל- ‎30.

$$-16x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-16.

$$x=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום x ב- ‎3y-4x=-15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-5,x=0$$