פתור את {l}{2y=3x-4}{2y=x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 4 } \\ { 2 y = x + 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$2y-3x=-4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-x=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2y-3x=-4$$

הוסף ‎3x לשני אגפי המשוואה.

$$2y=3x-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3x-4.

$$y=\frac{3}{2}x-2$$

השתמש ב- ‎\frac{3x}{2}-2 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y-x=1.

$$2\left(\frac{3}{2}x-2\right)-x=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{3x}{2}-2.

$$3x-4-x=1$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-x.

$$2x-4=1$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x ב- ‎y=\frac{3}{2}x-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{5}{2}-2$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎\frac{5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{15}{4}-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎\frac{15}{4}.

$$y=\frac{7}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$2y-3x=-4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-x=1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3x משני האגפים.

$$2y-3x=-4$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$2y-x=1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2y-3x=-4,2y-x=1$$

החסר את ‎2y-x=1 מ- ‎2y-3x=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2y-2y-3x+x=-4-1$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3x+x=-4-1$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎x.

$$-2x=-4-1$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎-1.

$$-2x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x ב- ‎2y-x=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y-\frac{5}{2}=1$$

הוסף ‎\frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$2y=\frac{7}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{7}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{7}{4},x=\frac{5}{2}$$