פתור את {l}{2y+7x/10=18}{7x+18y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y + \frac { 7 x } { 10 } = 18 } \\ { 7 x + 18 y = 30 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = -\frac{1320}{7} = -188\frac{4}{7} \approx -188.571428571$$

$$y=75$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎10.

$$20y+7x=180$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$20y+7x=180,18y+7x=30$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$20y+7x=180$$

החסר ‎7x משני אגפי המשוואה.

$$20y=-7x+180$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$y=\frac{1}{20}\left(-7x+180\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{20} ב- ‎-7x+180.

$$y=-\frac{7}{20}x+9$$

השתמש ב- ‎-\frac{7x}{20}+9 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎18y+7x=30.

$$18\left(-\frac{7}{20}x+9\right)+7x=30$$

הכפל את ‎18 ב- ‎-\frac{7x}{20}+9.

$$-\frac{63}{10}x+162+7x=30$$

הוסף את ‎-\frac{63x}{10} ל- ‎7x.

$$\frac{7}{10}x+162=30$$

החסר ‎162 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{10}x=-132$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{10}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{1320}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1320}{7} במקום x ב- ‎y=-\frac{7}{20}x+9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{7}{20}\left(-\frac{1320}{7}\right)+9$$

הכפל את ‎-\frac{7}{20} ב- ‎-\frac{1320}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=66+9$$

הוסף את ‎9 ל- ‎66.

$$y=75$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=75,x=-\frac{1320}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎10.

$$20y+7x=180$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$20y+7x=180,18y+7x=30$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}20&7\\18&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}180\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}20&7\\18&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&7\\18&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&7\\18&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&7\\18&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\30\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&7\\18&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&7\\18&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}180\\30\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20\times 7-7\times 18}&-\frac{7}{20\times 7-7\times 18}\\-\frac{18}{20\times 7-7\times 18}&\frac{20}{20\times 7-7\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{9}{7}&\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}180\\30\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 180-\frac{1}{2}\times 30\\-\frac{9}{7}\times 180+\frac{10}{7}\times 30\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\-\frac{1320}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=75,x=-\frac{1320}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎10.

$$20y+7x=180$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$20y+7x=180,18y+7x=30$$

החסר את ‎18y+7x=30 מ- ‎20y+7x=180 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20y-18y+7x-7x=180-30$$

הוסף את ‎7x ל- ‎-7x. האיברים ‎7x ו- ‎-7x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-18y=180-30$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-18y.

$$2y=180-30$$

הוסף את ‎180 ל- ‎-30.

$$2y=150$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=75$$

השתמש ב- ‎75 במקום y ב- ‎18y+7x=30. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$18\times 75+7x=30$$

הכפל את ‎18 ב- ‎75.

$$1350+7x=30$$

החסר ‎1350 משני אגפי המשוואה.

$$7x=-1320$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=-\frac{1320}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=75,x=-\frac{1320}{7}$$