פתור את {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x_{1} על-ידי בידוד x_{1} בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

החסר ‎3x_{2} משני אגפי המשוואה.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3x_{2}+7}{2} במקום ‎x_{1} במשוואה השניה, ‎4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

הוסף את ‎-6x_{2} ל- ‎-4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$-10x_{2}=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$x_{2}=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x_{2} ב- ‎x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x_{1} ישירות.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

הוסף את ‎\frac{7}{2} ל- ‎-3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x_{1} ו- x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

כדי להפוך את ‎2x_{1} ו- ‎4x_{1} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

פשט.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

החסר את ‎8x_{1}-8x_{2}=-12 מ- ‎8x_{1}+12x_{2}=28 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

הוסף את ‎8x_{1} ל- ‎-8x_{1}. האיברים ‎8x_{1} ו- ‎-8x_{1} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

הוסף את ‎12x_{2} ל- ‎8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

הוסף את ‎28 ל- ‎12.

$$20x_{2}=40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$x_{2}=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x_{2} ב- ‎4x_{1}-4x_{2}=-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x_{1} ישירות.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$4x_{1}-8=-6$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$4x_{1}=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$