פתור את {l}{2x-y=6}{3x-2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 6 } \\ { 3 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=8$$

$$y=10$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=6$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y+6.

$$x=\frac{1}{2}y+3$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=4.

$$3\left(\frac{1}{2}y+3\right)-2y=4$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{y}{2}+3.

$$\frac{3}{2}y+9-2y=4$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎-2y.

$$-\frac{1}{2}y+9=4$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}y=-5$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+3$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎10.

$$x=5+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎5.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=10$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 6-4\\3\times 6-2\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=8,y=10$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=6,3x-2y=4$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 6,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 4$$

פשט.

$$6x-3y=18,6x-4y=8$$

החסר את ‎6x-4y=8 מ- ‎6x-3y=18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-3y+4y=18-8$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y+4y=18-8$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎4y.

$$y=18-8$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-8.

$$y=10$$

השתמש ב- ‎10 במקום y ב- ‎3x-2y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\times 10=4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎10.

$$3x-20=4$$

הוסף ‎20 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=10$$