פתור את {l}{2x-y=2}{6x-y=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 6 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=2,6x-y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=2$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-y=-2.

$$6\left(\frac{1}{2}y+1\right)-y=-2$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{y}{2}+1.

$$3y+6-y=-2$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-y.

$$2y+6=-2$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$2y=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4\right)+1$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-4.

$$x=-2+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-2.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=2,6x-y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\-\frac{3}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=2,6x-y=-2$$

החסר את ‎6x-y=-2 מ- ‎2x-y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-6x-y+y=2+2$$

הוסף את ‎-y ל- ‎y. האיברים ‎-y ו- ‎y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-6x=2+2$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-6x.

$$-4x=2+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎2.

$$-4x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎6x-y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$6\left(-1\right)-y=-2$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-1.

$$-6-y=-2$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$-y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-4$$