פתור את {l}{2x-y=2}{3x-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=2$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=1.

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)-2y=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{y}{2}+1.

$$\frac{3}{2}y+3-2y=1$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎-2y.

$$-\frac{1}{2}y+3=1$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times 4+1$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎4.

$$x=2+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎2.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-1\\3\times 2-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2$$

פשט.

$$6x-3y=6,6x-4y=2$$

החסר את ‎6x-4y=2 מ- ‎6x-3y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-3y+4y=6-2$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y+4y=6-2$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎4y.

$$y=6-2$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-2.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎3x-2y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\times 4=1$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎4.

$$3x-8=1$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=4$$