פתור את {l}{2x-y=13}{-4x-6y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 13 } \\ { - 4 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=13$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y+13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y+13.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{13+y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x-6y=-18.

$$-4\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-6y=-18$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{13+y}{2}.

$$-2y-26-6y=-18$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-6y.

$$-8y-26=-18$$

הוסף ‎26 לשני אגפי המשוואה.

$$-8y=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{13}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1+13}{2}$$

הוסף את ‎\frac{13}{2} ל- ‎-\frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 13-\frac{1}{16}\left(-18\right)\\-\frac{1}{4}\times 13-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=13,-4x-6y=-18$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-4\times 2x-4\left(-1\right)y=-4\times 13,2\left(-4\right)x+2\left(-6\right)y=2\left(-18\right)$$

פשט.

$$-8x+4y=-52,-8x-12y=-36$$

החסר את ‎-8x-12y=-36 מ- ‎-8x+4y=-52 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-8x+8x+4y+12y=-52+36$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎8x. האיברים ‎-8x ו- ‎8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y+12y=-52+36$$

הוסף את ‎4y ל- ‎12y.

$$16y=-52+36$$

הוסף את ‎-52 ל- ‎36.

$$16y=-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎-4x-6y=-18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x-6\left(-1\right)=-18$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎-1.

$$-4x+6=-18$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-1$$