פתור את {l}{2x-y=-2}{y=5x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 2 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=-1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-y=-2$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎y-2.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{2}-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-5x+y=-1.

$$-5\left(\frac{1}{2}y-1\right)+y=-1$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{y}{2}-1.

$$-\frac{5}{2}y+5+y=-1$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{3}{2}y+5=-1$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{2}y=-6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{2}y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{2}\times 4-1$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎4.

$$x=2-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎2.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=-1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎5x משני האגפים.

$$y-5x=-1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-5\times 2x-5\left(-1\right)y=-5\left(-2\right),2\left(-5\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

פשט.

$$-10x+5y=10,-10x+2y=-2$$

החסר את ‎-10x+2y=-2 מ- ‎-10x+5y=10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-10x+10x+5y-2y=10+2$$

הוסף את ‎-10x ל- ‎10x. האיברים ‎-10x ו- ‎10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y-2y=10+2$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-2y.

$$3y=10+2$$

הוסף את ‎10 ל- ‎2.

$$3y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎-5x+y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-5x+4=-1$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$-5x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=4$$