פתור את {l}{2x-5y=4}{3x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{33}{19} = 1\frac{14}{19} \approx 1.736842105$$

$$y=-\frac{2}{19}\approx -0.105263158$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-5y=4$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=5y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎5y+4.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

השתמש ב- ‎\frac{5y}{2}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=5.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{5y}{2}+2.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=5$$

הוסף את ‎\frac{15y}{2} ל- ‎2y.

$$\frac{19}{2}y+6=5$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{2}y=-1$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{2}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{19} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{2}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{2}{19}\right)+2$$

הכפל את ‎\frac{5}{2} ב- ‎-\frac{2}{19} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{5}{19}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-\frac{5}{19}.

$$x=\frac{33}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 5\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{19}\\-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 5$$

פשט.

$$6x-15y=12,6x+4y=10$$

החסר את ‎6x+4y=10 מ- ‎6x-15y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-15y-4y=12-10$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y-4y=12-10$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-4y.

$$-19y=12-10$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-10.

$$-19y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=-\frac{2}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2}{19} במקום y ב- ‎3x+2y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\left(-\frac{2}{19}\right)=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{2}{19}.

$$3x-\frac{4}{19}=5$$

הוסף ‎\frac{4}{19} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{99}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{33}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$