פתור את {l}{2x-5y=100}{4x+y=120}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 100 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{350}{11} = 31\frac{9}{11} \approx 31.818181818$$

$$y = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-5y=100$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=5y+100$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+100\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎100+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+50$$

השתמש ב- ‎50+\frac{5y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+y=120.

$$4\left(\frac{5}{2}y+50\right)+y=120$$

הכפל את ‎4 ב- ‎50+\frac{5y}{2}.

$$10y+200+y=120$$

הוסף את ‎10y ל- ‎y.

$$11y+200=120$$

החסר ‎200 משני אגפי המשוואה.

$$11y=-80$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=-\frac{80}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{80}{11} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{2}y+50. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{80}{11}\right)+50$$

הכפל את ‎\frac{5}{2} ב- ‎-\frac{80}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{200}{11}+50$$

הוסף את ‎50 ל- ‎-\frac{200}{11}.

$$x=\frac{350}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 100+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 100+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{350}{11}\\-\frac{80}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 100,2\times 4x+2y=2\times 120$$

פשט.

$$8x-20y=400,8x+2y=240$$

החסר את ‎8x+2y=240 מ- ‎8x-20y=400 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-20y-2y=400-240$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-20y-2y=400-240$$

הוסף את ‎-20y ל- ‎-2y.

$$-22y=400-240$$

הוסף את ‎400 ל- ‎-240.

$$-22y=160$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-22.

$$y=-\frac{80}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{80}{11} במקום y ב- ‎4x+y=120. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-\frac{80}{11}=120$$

הוסף ‎\frac{80}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{1400}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{350}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$