פתור את {l}{2x-5y=10}{4x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{35}{22} = 1\frac{13}{22} \approx 1.590909091$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-5y=10$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=5y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎10+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

השתמש ב- ‎5+\frac{5y}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+y=5.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=5$$

הכפל את ‎4 ב- ‎5+\frac{5y}{2}.

$$10y+20+y=5$$

הוסף את ‎10y ל- ‎y.

$$11y+20=5$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$11y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=-\frac{15}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{15}{11} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{2}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{15}{11}\right)+5$$

הכפל את ‎\frac{5}{2} ב- ‎-\frac{15}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{75}{22}+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-\frac{75}{22}.

$$x=\frac{35}{22}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 5\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-5y=10,4x+y=5$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 5$$

פשט.

$$8x-20y=40,8x+2y=10$$

החסר את ‎8x+2y=10 מ- ‎8x-20y=40 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-20y-2y=40-10$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-20y-2y=40-10$$

הוסף את ‎-20y ל- ‎-2y.

$$-22y=40-10$$

הוסף את ‎40 ל- ‎-10.

$$-22y=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-22.

$$y=-\frac{15}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{15}{11} במקום y ב- ‎4x+y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-\frac{15}{11}=5$$

הוסף ‎\frac{15}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{70}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{35}{22}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{35}{22},y=-\frac{15}{11}$$