פתור את {l}{2x-5y=1}{3x-2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 1 } \\ { 3 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-5y=1$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=5y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎5y+1.

$$x=\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y+1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=-4.

$$3\left(\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)-2y=-4$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{5y+1}{2}.

$$\frac{15}{2}y+\frac{3}{2}-2y=-4$$

הוסף את ‎\frac{15y}{2} ל- ‎-2y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{3}{2}=-4$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{11}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{5}{2} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎-\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}+\frac{5}{11}\left(-4\right)\\-\frac{3}{11}+\frac{2}{11}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-5y=1,3x-2y=-4$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-4\right)$$

פשט.

$$6x-15y=3,6x-4y=-8$$

החסר את ‎6x-4y=-8 מ- ‎6x-15y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-15y+4y=3+8$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y+4y=3+8$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎4y.

$$-11y=3+8$$

הוסף את ‎3 ל- ‎8.

$$-11y=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎3x-2y=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\left(-1\right)=-4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-1.

$$3x+2=-4$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$3x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=-1$$