פתור את {l}{2x-5y=-21}{3x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = - 21 } \\ { 3 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-5y=-21$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=5y-21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-21\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎5y-21.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y-21}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=-3.

$$3\left(\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}\right)+2y=-3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{5y-21}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-3$$

הוסף את ‎\frac{15y}{2} ל- ‎2y.

$$\frac{19}{2}y-\frac{63}{2}=-3$$

הוסף ‎\frac{63}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{2}y=\frac{57}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{2}\times 3-\frac{21}{2}$$

הכפל את ‎\frac{5}{2} ב- ‎3.

$$x=\frac{15-21}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{21}{2} ל- ‎\frac{15}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-21\right)+\frac{5}{19}\left(-3\right)\\-\frac{3}{19}\left(-21\right)+\frac{2}{19}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-3$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\left(-21\right),2\times 3x+2\times 2y=2\left(-3\right)$$

פשט.

$$6x-15y=-63,6x+4y=-6$$

החסר את ‎6x+4y=-6 מ- ‎6x-15y=-63 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-15y-4y=-63+6$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y-4y=-63+6$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-4y.

$$-19y=-63+6$$

הוסף את ‎-63 ל- ‎6.

$$-19y=-57$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎3x+2y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times 3=-3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$3x+6=-3$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$3x=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=3$$