פתור את {l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 2 y = - 17 - 3 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{31}{13} = -2\frac{5}{13} \approx -2.384615385$$

$$y = -\frac{64}{13} = -4\frac{12}{13} \approx -4.923076923$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x-3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$2y+3x=-17$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=10$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=-17.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+2y=-17$$

הוסף את ‎\frac{9y}{2} ל- ‎2y.

$$\frac{13}{2}y+15=-17$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{13}{2}y=-32$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{13}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{64}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{64}{13} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-\frac{64}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{96}{13}+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-\frac{96}{13}.

$$x=-\frac{31}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x-3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$2y+3x=-17$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x-3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$2y+3x=-17$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)$$

פשט.

$$6x-9y=30,6x+4y=-34$$

החסר את ‎6x+4y=-34 מ- ‎6x-9y=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-9y-4y=30+34$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9y-4y=30+34$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎-4y.

$$-13y=30+34$$

הוסף את ‎30 ל- ‎34.

$$-13y=64$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$y=-\frac{64}{13}$$

השתמש ב- ‎-\frac{64}{13} במקום y ב- ‎3x+2y=-17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\left(-\frac{64}{13}\right)=-17$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{64}{13}.

$$3x-\frac{128}{13}=-17$$

הוסף ‎\frac{128}{13} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=-\frac{93}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-\frac{31}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$