פתור את {l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x-3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$17y+3x=-11$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=10$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+17y=-11.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

הוסף את ‎\frac{9y}{2} ל- ‎17y.

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{43}{2}y=-26$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{43}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{52}{43}$$

השתמש ב- ‎-\frac{52}{43} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-\frac{52}{43} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-\frac{78}{43}.

$$x=\frac{137}{43}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x-3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$17y+3x=-11$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎10 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$2x-3y=10$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎3x משני הצדדים.

$$17y+3x=-11$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

פשט.

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

החסר את ‎6x+34y=-22 מ- ‎6x-9y=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9y-34y=30+22$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎-34y.

$$-43y=30+22$$

הוסף את ‎30 ל- ‎22.

$$-43y=52$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-43.

$$y=-\frac{52}{43}$$

השתמש ב- ‎-\frac{52}{43} במקום y ב- ‎3x+17y=-11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

הכפל את ‎17 ב- ‎-\frac{52}{43}.

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

הוסף ‎\frac{884}{43} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{411}{43}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{137}{43}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$