פתור את {l}{2x-3y=12}{4x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 12 } \\ { 4 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=12$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎12+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+6$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}+6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+3y=24.

$$4\left(\frac{3}{2}y+6\right)+3y=24$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3y}{2}+6.

$$6y+24+3y=24$$

הוסף את ‎6y ל- ‎3y.

$$9y+24=24$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$9y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 12+\frac{1}{6}\times 24\\-\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=12,4x+3y=24$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 12,2\times 4x+2\times 3y=2\times 24$$

פשט.

$$8x-12y=48,8x+6y=48$$

החסר את ‎8x+6y=48 מ- ‎8x-12y=48 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-12y-6y=48-48$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y-6y=48-48$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-6y.

$$-18y=48-48$$

הוסף את ‎48 ל- ‎-48.

$$-18y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-18.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎4x+3y=24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=0$$