פתור את {l}{2x-3y=-2}{y=x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 2 } \\ { y = x - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=-2,-x+y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=-2$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+y=-1.

$$-\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=-1$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{3y}{2}-1.

$$-\frac{3}{2}y+1+y=-1$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{1}{2}y+1=-1$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times 4-1$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎4.

$$x=6-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎6.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=-2,-x+y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)-3\left(-1\right)\\-\left(-2\right)-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎x משני האגפים.

$$y-x=-1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=-2,-x+y=-1$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-2x-\left(-3y\right)=-\left(-2\right),2\left(-1\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

פשט.

$$-2x+3y=2,-2x+2y=-2$$

החסר את ‎-2x+2y=-2 מ- ‎-2x+3y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x+3y-2y=2+2$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-2y=2+2$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-2y.

$$y=2+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎2.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎-x+y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+4=-1$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=4$$