פתור את {l}{2x-3y=-1}{5x+2y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 1 } \\ { 5 x + 2 y = 26 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=-1$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y-1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+2y=26.

$$5\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+2y=26$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{3y-1}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{5}{2}+2y=26$$

הוסף את ‎\frac{15y}{2} ל- ‎2y.

$$\frac{19}{2}y-\frac{5}{2}=26$$

הוסף ‎\frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{2}y=\frac{57}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times 3-\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎3.

$$x=\frac{9-1}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{2} ל- ‎\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\26\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-1\right)+\frac{3}{19}\times 26\\-\frac{5}{19}\left(-1\right)+\frac{2}{19}\times 26\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=-1,5x+2y=26$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\left(-1\right),2\times 5x+2\times 2y=2\times 26$$

פשט.

$$10x-15y=-5,10x+4y=52$$

החסר את ‎10x+4y=52 מ- ‎10x-15y=-5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x-15y-4y=-5-52$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y-4y=-5-52$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-4y.

$$-19y=-5-52$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎-52.

$$-19y=-57$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎5x+2y=26. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+2\times 3=26$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$5x+6=26$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$5x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=3$$