פתור את {l}{2x-3y=-1}{2x+3y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 1 } \\ { 2 x + 3 y = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} = 3.75$$

$$y = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} \approx 2.833333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=-1$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y-1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=16.

$$2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=16$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{3y-1}{2}.

$$3y-1+3y=16$$

הוסף את ‎3y ל- ‎3y.

$$6y-1=16$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$6y=17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=\frac{17}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{17}{6} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{17}{6}-\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎\frac{17}{6} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{17}{4}-\frac{1}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{2} ל- ‎\frac{17}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{15}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\times 16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{4}\\\frac{17}{6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

החסר את ‎2x+3y=16 מ- ‎2x-3y=-1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-3y-3y=-1-16$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-3y=-1-16$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-3y.

$$-6y=-1-16$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎-16.

$$-6y=-17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=\frac{17}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{17}{6} במקום y ב- ‎2x+3y=16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\times \frac{17}{6}=16$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{17}{6}.

$$2x+\frac{17}{2}=16$$

החסר ‎\frac{17}{2} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{15}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{15}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$